» » Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat
image sourcec: geeksforgeeks.org

Menyelesaikan persamaan kuadrat bisa dikatakan adalah hal yang susah-susah gampang. Kenapa bisa dibilang demikian? Karena dalam menyelesaikannya bergantung pada bentuk persamaan kuadrat itu sendiri atau dengan kata lain tergantung soal. Tapi Sobat Epsilon tidak perlu khawatir. Ingat bahwa matematika adalah ilmu pasti sehingga jika sobat memahami cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan baik, maka sobat akan dapat menyelesaikannya bagaimanapun bentuk persamaan kuadrat tersebut.

Persamaan kuadrat adalah polinomial berderajat dua. Bentuk umumnya seringkali ditulis
$ax^2 + bx + c = 0$
dimana $a\neq 0$ merupakan koefisien derajat dua, $b$ merupakan koefisien derajat satu, dan $c$ merupakan konstanta. Sobat Epsilon tidak perlu bingung jika beberapa sumber menuliskan
$y = ax^2 + bx + c$
Hal tersebut sebenarnya sama saja. Jika $y$ kita pindahkan ke ruas kanan maka bentuknya menjadi
$0 = ax^2 + bx + (c-y)$
Baik $c$ pada bentuk pertama dan $(c-y)$ pada bentuk kedua sama-sama merupakan konstanta. Jadi tidak masalah bentuk mana yang dipakai.

Setelah kita sepakat mengenai bentuk umum persamaan kuadrat, selanjutnya kita akan langsung membahas cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Pada artikel ini Epsilon Course membagikan tiga metode, yaitu pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus abc. Masing-masing metode memiliki karakteristik tersendiri. Berikut penjelasannya.

1. Metode Pemfaktoran
Metode pemfaktoran adalah cara memperoleh akar-akar dari persamaan kuadrat dengan mengubah bentuk umum
$ax^2 + bx + c = 0$
menjadi
$(px+q)(mx+n) = 0$
sehingga dari persamaan tersebut dapat kita peroleh akar persamaan kuadratnya yaitu $x_1 = \frac{-q}{p}$ dan $x_2 = \frac{-n}{m}$. Lalu bagaimana kita bisa tahu nilai $p$, $q$, $m$, dan $n$? Simak penjelasannya berikut ini.

Mula-mula kita perhatikan persamaan kedua (persamaan yang telah difaktorkan). Selanjutnya kita kalikan kedua faktor tersebut. Hasilnya adalah sebagai berikut.
$pmx^2 + pnx + qmx + qn = 0$
$(pm)x^2 + (pn+qm)x+ (qn) = 0$
Dengan demikian kita peroleh $pm = a$, $(pn+qm) = b$, dan $qn=c$. Jadi dalam metode pemfaktoran kita akan mencari $p$, $q$, $m$, dan $n$ yang memenuhi ketiga persamaan tersebut (sebut saja tiga persamaan syarat). Cukup sulit memang. Namun seperti yang Epsilon Course telah sebutkan tadi, setiap metode mempunyai karakteristik tersendiri. Dalam hal ini, metode pemfaktoran cocok digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan bentuk
$x^2 + bx + c = 0$
Artinya pada kasus ini kita punya nilai $a=1$. Perhatikan kembali tiga persamaan syarat di atas. Karena nilai $a=1$ berarti $pm=1$. Ambil $p=1$ dan $m=1$ sehingga $1\times n+q \times 1=n+q=b$ dan $qn=c$. Jadi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat $x^2 + bx + c = 0$ kita hanya menggunakan dua persamaan syarat saja, yaitu $n+q=b$ dan $qn=c$. Untuk mempermudah dalam memahami, langsung saja kita mencoba mengerjakan contoh berikut.
  • Contoh pertama: Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 + 5x + 6 = 0$
Dari soal kita peroleh $a=1$, $b=5$, dan $c=6$. Jadi kita akan mencari dua bilangan $q$ dan $n$ yang jika dikalikan menghasilkan $c=6$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b=5$. Dengan mudah kita tahu bahwa bilangan tersebut adalah $q=2$ dan $n=3$. Jadi persamaan kuadrat yang semula berbentuk
$x^2 + 5x + 6 = 0$
telah difaktorkan menjadi
$(x+2)(x+3) = 0$
sehingga akar-akarnya dapat dengan mudah kita dapat, yaitu $x_1 = -2$ dan $x_2 = -3$.
  • Contoh kedua: Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 -2x -3 = 0$
Pada contoh kedua kita tahu bahwa $a=1$, $b=-2$, dan $c=-3$. Kita akan mencari dua bilangan $q$ dan $n$ jika dikalikan menghasilkan $c=-3$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b=-2$. Berapakah nilai dua bilangan tersebut? Yup benar. Kita peroleh nilai $q=-3$ dan $n=1$. Jadi hasil pemfaktorannya adalah $(x-3)(x+1)=0$. Dengan begitu kita dengan mudah dapat akar-akarnya yaitu $x_1=3$ dan $x_2=-1$.
  • Contoh ketiga: Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 -5x + 6 = 0$
Sekarang kita akan mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $6$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $-5$. Dengan mudah kita ketahui dua bilangan tersebut adalah $-2$ dan $-3$. Jadi hasil pemfaktorannya adalah $(x-2)(x-3)=0$. Akar penyelesaian dari persaman kuadratnya adalah $x_1=2$ dan $x_2=3$.
  • Contoh keempat: Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 + 2x - 3 = 0$
Pada contoh keempat kita akan mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $-3$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $2$. Dua bilangan yang kita cari adalah $3$ dan $-1$. Jadi hasil pemfaktoran persamaan kuadrat pada contoh keempat adalah $(x+3)(x-1)=0$. Akar penyelesaian dari persamaan kuadratnya adalah $x_1=-3$ dan $x_2=1$.

Sampai disini Sobat Epsilon sudah mengerjakan empat contoh soal. Tentu sobat sudah mulai memahami cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran. Nah jika sobat perhatikan, Epsilon Course selalu menuliskan "kita akan mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $\dots$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $\dots$. Epsilon Course selalu menyebut "dikalikan" terlebih dahulu baru kemudian kami menyebut "dijumlahkan". Hal tersebut bukan tanpa sebab. Dengan kita mencari yang dikalikan terlebih dahulu, kita akan mendapatkan faktor bilangannya. 

Sebagai contoh perhatikan nilai $c$ pada contoh pertama. Kerena $c=6$ maka kita hanya perlu mencari nilai $q$ dan $n$ yang merupakan faktor dari $6$, yaitu $1$, $2$, $3$, dan $6$. Kita pilih dari keempat bilangan tersebut yang jika dijumlah menghasilkan $5$. Maka kita dapatkan hasilnya yaitu $q=2$ dan $n=3$. Begitu juga untuk contoh kedua hingga keempat.

Hal lain yang perlu diperhatikan adalah nilai dari $b$ dan $c$. Hal tersebut antara lain sebagai berikut.
  1. Jika nilai $b$ dan $c$ keduanya positif maka nilai $q$ dan $n$ keduanya positif (contoh pertama)
  2. Jika nilai $b$ dan $n$ keduanya negatif maka $q$ positif dan $n$ negatif.(contoh kedua).
  3. Jika nilai $b$ negatif dan $c$ positif maka nilai $q$ dan $n$ keduanya negatif (contoh ketiga).
  4. Jika nilai $b$ positif dan $c$ negatif maka nilai $q$ positif dan $n$ negatif (contoh keempat).
Dengan mengingat empat hal tersebut sobat akan makin mudah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode pemfaktoran.

2. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Sebagai modal untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna, sobat perlu mengingat kembali rumus berikut.
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Sebagai tambahan, coba sobat kerjakan beberapa soal latihan dibawah ini.
  1. $(x+3)^2 = \dots$
  2. $(x-6)^2 = \dots$
  3. $(2x+5)^2 = \dots$
  4. $(3x-2)^2 = \dots$
  5. $(x-\frac{1}{2})^2 = \dots$
Oke sekarang mari kita mulai masuk ke pembahasan mengenai metode melengkapkan kuadrat sempurna. Simak penjelasannya berikut ini.

Metode melengkapkan kuadrat sempurna, seperti namanya, adalah metode menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubah bentuk
$ax^2 + bx + c = 0$
menjadi 
$(x+p)^2 = q$
sehingga diperoleh $(x+p) = \pm \sqrt{q}$. Dengan demikian akar penyelesaian persamaan kuadrat sudah dapat diperoleh yaitu $x_1 = -p + \sqrt{q}$ dan $x_2 = -p - \sqrt{q}$. Salah satu kelebihan metode melengkapkan kuadrat sempurna adalah metode ini tidak bergantung pada nilai $a$. Jadi walaupun $a\neq 1$, metode ini masih efektif untuk digunakan. Mempelajari metode ini juga bermanfaat karena jika sudah terbiasa untuk membentuk kuadrat sempurna, maka sobat tidak akan kesulitan untuk menentukan persamaan lingkaran, elips, hiperbola, dll.

Lalu bagaimana untuk mengubah yang semula bentuk umum persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna? Untuk mengubah bentuk umum menjadi bentuk kuadrat sempurna, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
  1. Dari bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$, bagi kedua ruas dengan $a$ sehingga bentuknya menjadi $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. Selanjutnya kita namai bentuknya menjadi $x^2 + mx + n = 0$.
  2. Pindah ruas $n$ sehingga bentuknya menjadi $x^2 + mx = -n$.
  3. Ubah bentuk menjadi $(x+\frac{m}{2})^2 - (\frac{m}{2})^2 = -n$. Perhatikan bahwa jika ruas kiri dijabarkan, hasilnya akan sama dengan yang sebelumnya, yaitu $x^2 + mx$.
  4. Pindah semua konstanta ke ruas kanan sehingga diperoleh $(x+\frac{m}{2})^2 = -n +  (\frac{m}{2})^2$. Selanjutnya selesaikan penghitungan konstanta di ruas kanan. Namakan bentuknya menjadi $(x+p)^2 = q$.
  5. Langkah selanjutnya kita tinggal mendapatkan akar penyelesaian dari persamaan kuadrat, yaitu $x_1 = -p + \sqrt{q}$ dan $x_2 = -p - \sqrt{q}$.
Langkah diatas kelihatannya cukup rumit. Namun kenyataannya setelah kita dihadapkan langsung ke soal, cara mengerjakannya jauh lebih mudah dari yang dibayangkan. Jadi mari kita berlatih mengerjakan soal.
  • Contoh kelima: Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 + 2x - 15 = 0$
Karena $a=1$ berarti langkah pertama dapat kita lewati. Selanjutnya kita pindahkan konstanta ke ruas kanan (langkah kedua). Persamaannya menjadi $x^2 + 2x = 15$. Kemudian kita ubah bentuk ruas kiri menjadi $(x+\frac{2}{1})^2 - (\frac{2}{1})^2 = 15$ (langkah ketiga). Pindahkan semua konstanta ke ruas kanan sekaligus selesaikan penghitungannya. Sampai saat ini kita peroleh $(x+1)^2 = 16$ (langkah keempat). 
Selanjutnya kita sudah dapat menentukan akar penyelesaian dari persamaan kuadratnya yaitu $x_1 = -1+\sqrt{16} = 3$ dan $x_2 = -1 - \sqrt{16} = -5$ (langkah kelima). Untuk mengecek jawaban, sobat dapat mengerjakannya dengan cara pemfaktoran.
  • Contoh keenam: Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 - 7x + 12 = 0$
Penyelesaian:
  1. Langkah pertama menghasilkan $x^2 - 7x + 12 = 0$.
  2. Langkah kedua menghasilkan $x^2 - 7x  = -12$
  3. Langkah ketiga menghasilkan $(x-\frac{7}{2})^2 - (\frac{7}{2})^2 = -12$.
  4. Langkah keempat menghasilkan $(x-\frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
  5. Langkah kelima menghasilkan $x_1 = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = 4$ dan $x_2 = \frac{7}{2}- \sqrt{\frac{1}{4}} = 3$.
  • Contoh ketujuh: Selesaikan persamaan kuadrat $3x^2 - 5x - 2 = 0$
Penyelesaian:
  1. Langkah pertama menghasilkan $x^2 - \frac{5}{3}x -\frac{2}{3} = 0$.
  2. Langkah kedua menghasilkan $x^2 - \frac{5}{3}x = \frac{2}{3}$.
  3. Langkah ketiga menghasilkan $(x-\frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2 = \frac{2}{3}$.
  4. Langkah keempat menghasilkan $(x-\frac{5}{6})^2 = \frac{49}{36}$.
  5. Langkah kelima menghasilkan $x_1 = \frac{5}{6} + \frac{7}{6} = 2$ dan $x_2 = \frac{5}{6} - \frac{7}{6} = -\frac{1}{3}$.
Dengan tiga contoh tersebut Epsilon Course yakin bahwa sobat sudah paham dengan metode melengkapkan kuadrat sempurna. Sobat tinggal perlu berlatih sehingga dapat lebih lancar dan lebih cepat untuk penghitungannya.

3. Metode rumus abc
Metode yang ketiga ini adalah metode yang mudah digunakan. Metode ini melibatkan rumus pasti sehingga dapat diterapkan pada semua persamaan kuadrat. Rumusnya adalah sebagai berikut.
$x_{1,2} = \dfrac{-b\ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Oke langsung saja kita terapkan rumus tersebut untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
  • Contoh kedelapan: Selesaikan persamaan kuadrat $6x^2 - 23x + 21 = 0$
Dari soal kita peroleh $a=6$, $b=-23$, dan $c=21$. Substitusi nilai tersebut ke rumus menghasilkan
$x_{1,2} = \dfrac{-(-23)\ \pm \sqrt{(-23)^2 - 4 \times 6 \times 21}}{2 \times 6}$
$x_{1,2} = \dfrac{23 \pm \sqrt{25}}{12}$
Dengan menyelesaikan penghitungan kita peroleh akar-akar persamaan kuadratnya adalah $x_1 = \frac{7}{3}$ dan $x_2 = \frac{3}{2}$.

Untuk metode rumus abc, Epsilon Course yakin sobat bisa memahami dengan baik metodenya walaupun hanya dengan menggunakan satu contoh soal. Selanjutnya sobat hanya perlu banyak-banyak latihan sehingga sobat dapat lebih cepat mengerjakan soal dan tentunya lebih teliti.

Sekian artikel Epsilon Course kali ini tentang cara menyelesaikan persamaan kuadrat. Semoga bermanfaat. Jika sobat punya saran/masukan dapat dituliskan di kolom komentar. Terimakasih.

Baca juga:

Tags:

1 Comments



Emoticon